Ряд фурье примеры решения графики. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов
Лекция №60
6.21. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Теорема: Для любой чётной функции её ряд Фурье состоит только из косинусов.
Для любой нечётной
функции:
.
Доказательство : Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то
.
Действительно,
так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).
Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskxесть функция также нечетная, а ƒ(x) ·sinkx– четная; следовательно,
(21)
т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».
Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x)·sinkxесть функция нечетная, а ƒ(x) ·coskx– четная, то:
(22)
т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».
Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной, а также получать разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка .
Во многих задачах
функция
задается в интервале
.
Требуется представить данную функцию
в виде бесконечной суммы синусов и
косинусов углов, кратных числам
натурального ряда, т.е. необходимо
произвести разложение функции в ряд
Фурье. Обычно в таких случаях поступают
следующим образом.
Чтобы разложить
заданную функцию по косинусам, функцию
доопределяют в интервале
четным образом, т.е. так, что в интервале
.
Тогда для «продолженной» четной функции
справедливы все рассуждения предыдущего
параграфа, и, следовательно, коэффициенты
ряда Фурье определяются по формулам
,
В этих формулах,
как видим, фигурируют значения функции
,
лишь заданные в интервале
.
Чтобы разложить функцию
,
заданную в интервале
,
по синусам, необходимо доопределить
эту функцию в интервале
нечетным образом, т.е. так, что в интервале
.
Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам
.
Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.
Замечание.
Функция
,
заданная в интервале
может быть доопределена в интервале
любым образом, а не только так, как было
сделано выше. Но при произвольном
доопределении функции разложение в ряд
Фурье будет более сложным, чем то, которое
получается при разложении по синусам
или косинусам.
Пример.
Разложить в ряд Фурье по косинусам
функцию
,
заданную в интервале
(рис.2а).
Решение.
Доопределим функцию
в интервале
четным образом (график симметричен
относительно оси
)
,
Так как
,
то
при
,
при
6.22. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке
До
сих пор мы рассматривали функцию,
заданную в интервале
,
считая ее вне этого интервала периодической,
с периодом
.
Рассмотрим
теперь функцию
,
период которой равен 2l
,
т.е.
на интервале
,
и покажем, что в этом случае функция
может быть разложена в ряд Фурье.
Положим
,
или
.
Тогда при изменении
от –l
доl
новая переменная
изменяется от
до
и, следовательно, функцию
можно рассматривать как функцию, заданную
в интервале от
до
и периодическую вне этого промежутка,
с периодом
.
Итак,
.
Разложив
в ряд Фурье, получим
,
.
Переходя
к старым переменным, т.е. полагая
,
получим
,
и
.
То
есть ряд Фурье для функции
,
заданной в интервале
,
будет иметь вид:
,
,
.
Если
функция
четная, то формулы для определения
коэффициентов ряда Фурье упрощаются:
,
,
.
В
случае, если функция
нечетная:
,
,
.
Если
функция
задана в интервале
,
то ее можно продолжить в интервале
либо четным, либо нечетным образом. В
случае четного продолжения функции в
интервале
,
.
В
случае нечетного доопределения функции
в интервале
коэффициенты ряда Фурье находятся по
формулам
,
.
Пример . Разложить в ряд Фурье функцию
по синусам кратных дуг.
Решение . График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.
Все
коэффициенты
,
Введем
замену
.
Тогда при
получим 
,
при
имеем
.
Таким образом
.
6.23. .Понятие о разложении в ряд Фурье непериодических функций
Функцию, заданную в основной области (-ℓ, ℓ), можно периодически продолжить за основную область с помощью функционального соотношения ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).
Для непериодической функции ƒ(x) (-∞ . Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид X (x) β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение k 2 β 2 = имеет корни k = ±β. Следовательно, общее решение уравнения (28) имеет вид X(x) = C e βx + De βx. Мы должны подобрать постоянные C и D так, чтобы соблюдались граничные условия (3), т. е. X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Поскольку β, то эта система уравнений имеет единственное решение C = D =. Следовательно, X(x) и 63
64 u(x, t). Тем самым, в случае 1 мы получили тривиальное решение, которое далее рассматривать не будем. Случай 2: λ =. Тогда уравнение (28) принимает вид X (x) = и его решение, очевидно, задается формулой: X(x) = C x+d. Подставляя это решение в граничные условия (3), получим X() = D = и X(l) = Cl =, значит, C = D =. Следовательно, X(x) и u(x, t), и мы опять получили тривиальное решение. Случай 3: λ
