Найти направляющий вектор прямой. Уравнение прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Направляющим вектором прямой l называется всякий ненулевой вектор (m , n ), параллельный этой прямой.

Пусть заданы точка M 1 (x 1 , y 1) и направляющий вектор (m , n ), тогда уравнение прямой, проходящей через точку M 1 в направлении вектора имеет вид: . Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. Запишем каноническое уравнение прямой , преобразуем его. Получим х + у - 3 = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости заданы две точки M 1 (x 1 , y 1) и M 2 (x 2, y 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид: . Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем: ,

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент С ¹ 0, то, разделив на С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох , а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу .

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. А = -1, В = 1, С = 1, тогда а = -1, b = 1. Уравнение прямой в отрезках примет вид .

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ;

4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Практическое занятие №7

Наименование занятия: Кривые второго порядка.

Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка»

Литература:

1. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), записать их канонические уравнения.
2. Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы? Как его найти?
3. Записать уравнение равносторонней гиперболы

ПРИЛОЖЕНИЕ

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О (a; b ), а расстояние до любой точки М (х;у ) окружности равно R . Тогда (x – a ) 2 + (y – b ) 2 = R 2 – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b ) и радиусом R.

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначаются буквами F 1 , F с , сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2а (2а > 2c ), a – большая полуось; b – малая полуось.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где a , b и c связаны между собой равенствами: a 2 – b 2 = c 2 (или b 2 – a 2 = c 2).

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. или .

Т.к. по определению 2а > 2c , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = . По условию 2а = 2, следовательно, а = 1, b = Искомое уравнение эллипса примет вид: .

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или , где a , b и c связаны между собой равенством a 2 + b 2 = c 2 . Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Фокусы обозначаются буквами F 1 , F 2 , расстояние между фокусами – 2с , разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2а (2а < 2c ). Ось 2а называется действительной осью гиперболы, ось 2b – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: или . Т.к. по определению 2а < 2c , то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .

Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b , ε = , то гипербола называется равносторонней .

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a ; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Тогда - искомое уравнение гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Фокус параболы обозначается буквой F , директриса – d , расстояние от фокуса до директрисы – р .

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:

y 2 = 2px или y 2 = -2px

x = -p /2, x = p /2

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:

х 2 = 2pу или х 2 = -2pу

Уравнения директрис соответственно у = -p /2, у = p /2

Пример. На параболе у 2 = 8х найти точки, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p /2 = 4; следовательно:

x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Практическое занятие №8

Наименование занятия: Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел .

Цель занятия: Научиться выполнять действия над комплексными числами.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Комплексные числа».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Вычислить:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)·(i 72 – i 34);

Уравнение прямой на плоскости.
Направляющий вектор прямой. Вектор нормали

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций , я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах , иначе понимание материала будет неполным.

На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики.

• Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?
• Как ?
• Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?
• Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

и мы начинаем:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой : , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс .

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён) .

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой .

Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов.

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой .

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения : прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Пример 1

Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом , если известно, что точка принадлежит данной прямой.

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

Ответ :

Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение:

Получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет полученному уравнению.

Вывод : уравнение найдено правильно.

Более хитрый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси составляет , и точка принадлежит данной прямой.

Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю.

Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =)

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид : , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки:

Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным!

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат).

Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор .

Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой . Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно).

Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: .

Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку , которая принадлежит прямой.

Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле :

Иногда его называют каноническим уравнением прямой .

Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления.

Пример 3

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Решение : Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:

С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:

И приводим уравнение к общему виду:

Ответ :

Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради:

На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду и без проблем подобрать ещё одну точку для построения прямой.

Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

Разруливаем пропорцию:

Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение:

Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор.

Теперь решим обратную задачу:

Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить:

Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Логично.

Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем в качестве направляющего вектора орт .

Теперь выполним проверку Примера 3 . Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Во-первых , по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых , координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

Получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод : задание выполнено правильно.

Пример 4

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать.

В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто:

Пример 5

Решение : Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

Ответ :

Проверка :

1) Восстановим направляющий вектор прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору.

2) Подставим координаты точки в уравнение :

Получено верное равенство

Вывод : задание выполнено правильно

Возникает вопрос, зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается . А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат.

Пример 6

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Это пример для самостоятельного решения.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

Как составить уравнение прямой по двум точкам?

Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле:

На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора:

Примечание : точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным.

Пример 7

Составить уравнение прямой по двум точкам .

Решение : Используем формулу:

Причёсываем знаменатели:

И перетасовываем колоду:

Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:

Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума:

Ответ :

Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению:

1) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

2) Подставим координаты точки :

Верное равенство.

Вывод : уравнение прямой составлено правильно.

Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку.

Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто.

Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой и, по тем же точкам составить уравнение:

Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение.

Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых .

Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения.

Пример 8

Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений.

Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6).

Вектор нормали прямой (нормальный вектор)

Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы).

Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами:

Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой.

Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять».

Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения :

Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора:

Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов.

Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и вектор нормали этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой :

Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =)

Пример 9

Составить уравнение прямой по точке и вектору нормали . Найти направляющий вектор прямой.

Решение : Используем формулу:

Общее уравнение прямой получено, выполним проверку:

1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор).

2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению :

Верное равенство.

После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой:

Ответ :

На чертеже ситуация выглядит следующим образом:

В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения:

Пример 10

Составить уравнение прямой по точке и нормальному вектору . Найти направляющий вектор прямой.

Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой в параметрической форме

Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить).

Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстронайти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики.

Найдём точку пересечения прямой с осью . Обнуляем «игрек», и уравнение принимает вид . Нужная точка получается автоматически: .

Аналогично с осью – точка, в которой прямая пересекает ось ординат.

§ 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой

Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Так как всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собою, то один из них получается из другого умножением на некоторое число .

Ббльшая часть этой главы исследованию прямых линий на плоскости; лишь в §§ 4 и 10 рассматриваются прямые в пространстве; прямые в пространстве будут изучаться еще и в главе X.

Предположим, что в данной плоскости раз навсегда выбрана некоторая аффинная система координат.

Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельной одной из координатных осей. Если прямая d параллельна оси ординат, то (согласно замечанию на стр. 40) ее направляющими векторами являются все векторы вида и только они (здесь - произвольное число ). Точно так же ненулевые векторы вида и только эти векторы являются направляющими векторами любой прямой, параллельной оси абсцисс.

Пусть прямая d параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (рис. 63). Тогда все векторы ОМ, где М - произвольная точка прямой, при проектировании на ось абсцисс (вдоль оси ординат) переходят в один и тот же вектор для всех точек М нашей прямой (и только для них) имеем

Это и есть уравнение прямой, параллельной оси ординат. Аналогично прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение

(При этом параллельность понимается в широком смысле - сама ось ординат имеет уравнение , а ось абсцисс

Имеет место следующее простое предложение:

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

В самом деле, если - два направляющих вектора данной прямой d, то , т. е. одновременно

и, значит (так как ),

Замечание 1. Направляющий вектор прямой, параллельной оси ординат, имеет вид поэтому угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, равен .

Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, есть 0,

Замечание 2. Всякий вектор , для которого отношение равно угловому коэффициенту k данной прямой d, есть направляющий вектор этой прямой.

Для прямых, параллельных какой-нибудь из осей координат, утверждение очевидно (так как тогда или и вектор , для которого , параллелен соответствующей оси координат). Пусть прямая d не параллельна ни одной из осей координат и есть какой-нибудь направляющий вектор этой прямой. Тогда , т. е. вектор и коллинеарен направляющему вектору их прямой d и, следовательно, сам является ее направляющим вектором.

Замечание 3. Если система координат прямоугольная, то для углового коэффициента k прямой d имеем , где а есть угол наклона любого направляющего вектора прямой d к оси абсцисс.

Найдем теперь уравнение прямой d, не параллельной оси ординат (система координат снова произвольная аффинная).

Обозначим угловой коэффициент прямой d через k, а точку ее пересечения с осью через (рис. 64).

Если произвольная точка прямой d, отличная от точки Q, то вектор есть направляющий вектор прямой d и, следовательно,

Другими словами, все точки прямой d удовлетворяют уравнению

Обратно, всякая точка , удовлетворяющая уравнению (1), лежит на прямой d: в самом деле, существует единственная точка М с абсциссой лежащая на прямой d, и эта точка, имея ту же абсциссу , что и точка удовлетворяет уравнению (1) и, значит, имеет ординату ту же, что и точка . Значит, т. е. точка лежит на прямой .

Итак, уравнению (1) удовлетворяют все точки прямой d и только они, а это и значит, что уравнение (1) есть уравнение прямой .

Пусть мы каким бы то ни было способом нашли уравнение вида (1), которому удовлетворяют все точки данной прямой d и только они.

Докажем, что тогда непременно есть ордината Q пересечения прямой d с осью ординат, a k есть угловой коэффициент этой прямой.

Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пересечения прямой d с осью ординат надо в уравнение (1) подставить получаем , т. е. . Далее, при любом выборе отличной от Q точки прямой d вектор есть направляющий вектор этой прямой, и, следовательно, есть угловой коэффициент прямой .

Итак, существует единственное уравнение вида (1), являющееся уравнением данной прямой d (не параллельной оси ординат). Это уравнение - первой степени; так как и прямая, параллельная оси ординат, определяется уравнением первой степени , то мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется некоторым уравнением первой степени, связывающим координаты ее точек.

Докажем обратное предложение. Пусть

Произвольное уравнение первой степени относительно . Докажем, что оно является уравнением некоторой прямой.

Возможны два случая: или ВО.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.

Определение . Уравнение вида

F (x , y )=0 (1)

называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Степень уравнения (1) определяет порядок линии . Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L .

Определение . Уравнение вида

Ах+Ву+С=0 (2)

при произвольных коэффициентах А , В , С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой .

Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1)Если С=0 , то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.

2)Если В=0 (А≠0 ), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а , гдеа=-С/А , а — величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0 Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.

3)Если А=0 (В≠0 ), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у= b , гдеb =-С/В , b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b =0 (С=0 ), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.

а) б)

Уравнение прямой в отрезках .

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.

Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках »:

Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Пример 2х-3у+6=0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.

Решение

Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3 , а на оси Оу отрезок b =2 . Через полученные точки проведем прямую (рис.2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования

Уравнение (4), где k =- A / B , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Определение . Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α , на который нужно повернуть ось Ох , чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k = tgα . Докажем, что –А/В действительно равно k . Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα , выполним необходимые преобразования и получим:

Что и требовалось доказать.

Если k =0 , то прямая параллельна оси Ох , и её уравнение имеет вид у= b .

Пример . Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0 . Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Решение . Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

где k=-2, b=1 .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.

Пусть задана точка М 0 (х 0 ,у 0) прямой и её угловой коэффициент k . Запишем уравнение прямой в виде (4), где b —пока неизвестное число. Так как точка М 0 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 45 0 .

Решение . k = tgα = tg 45 0 =1 . Отсюда: .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :

l 1 : , , и

l 2 : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Отсюда , или

Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.