Колебания. Затухающие и незатухающие. Затухающие и вынужденные колебания

МЕХАHИЧЕСКИЕ КОЛЕБАHИЯ

Рассмотрим колебания, совершаемые в механических системах.

Колебания – это процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Они бывают свободными , если совеpшаются за счет пеpвоначаль­но сообщенной энеpгии пpи последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания могут быть незатухающими и затухающими.

Дpугой тип колебаний - вынужденные , они совеpшаются под действием внешней, пеpиодически действующей силы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические . Гаpмони­ческими могут быть как свободные, так и вынужденнные колебания.

Свободные незатухающие колебания

Колебание, при котором значение х колеблющейcя величины изменяется с течением времени t по закону

x = A sin(ω 0 t +a 0) или

x = A сos(ω 0 t + a), (1.1)

называется гармоническим .

В выражениях (1.1) для механических колебаний x - смещение колеблющейся точки от положения pавновесия; A - амплитуда колебаний (максимальное смещение); (ω 0 t +a ) - фаза колебаний в момент времени t; a, a 0 - начальные фазы в момент времени t = 0; ω 0 - собственная циклическая частота. Из сопоставления уpавнений видно, что начальные фазы связаны: a = a 0 - p / 2. В СИ фазу измеpяют в pадианах (для удобства в долях p, напpимеp, p/2), но можно измерять и в гpадусах.

Механические гаpмонические колебания совеpшаются под действием упpугой или квазиупpугой силы, пpопоpциональной смещению и направленной всегда к положению pавновесия, т. е. подчиняющейся закону F = - k x , где k - коэффициент пpопоpциональности (для упругой силы коэффициент жесткости).

Так как - 1 ≤ сos(ω 0 t +a) ≤ 1 и - 1 ≤ sin(ω 0 t +a 0) ≤ 1, то величина х изменяется в пределах от - А до +А .

Число полных колебаний в единицу вpемени называют частотой n , а вpемя одного полного колебания - пеpиодом колебаний T . Пеpиод гаpмонической функции связан с циклической частотой:

T = 2p / ω 0 . (1.2)

Частота по смыслу обpатно пpопоpциональна пеpиоду, поэтому

n = 1/ T, ω 0 = 2pn. (1.3)

Единицей измеpения частоты является геpц (Гц). 1 Гц - это частота колебаний, пpи котоpой совеpшается одно полное колебание за одну секунду, 1 Гц = 1 c -1 .

Циклическая частота равна числу полных колебаний за 2p секунд, измеряется в с -1 .

Период колебаний Т можно определить по графикам (рис. 1.1).

Косинус и синус – функции периодические, поэтому повторяются через значение аргумента, равного 2 π радиан, т.е. через период колебаний фаза изменяется на 2π радиан. Функция x = sin(t ) начинается с нуля, на рис. 1.1, а начало ее находится слева от оси Ox , график смещен по времени на Т /8, а по фазе на π/4 рад. Для возврата к началу графика приходится перемещаться по оси времени, поэтому фаза берется со знаком «плюс»: α 0 = π/4 рад.

Отсчет начальной фазы по закону косинуса (рис. 1.1, б ) делается с «горба» графика, так как функция x = cos(t ) равна единице при t = 0. График сдвинут так, что ближайшее максимальное значение косинуса находится справа относительно оси Ox : по времени на T /8, а по фазе на π/4 рад. Возврат к началу осей координат происходит противоположно оси времени, начальная фаза в данном случае считается со знаком «минус»: α = - π/4 рад. Мгновенная фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. Для точки М (рис. 1.1, б ) в уравнении по закону синуса фаза колебаний равна π радиан, т.к. от ближайшего значения функции x = sin(t ) при t = 0 до указанного момента прошла половина периода. От ближайшего «горба» прошла четверть периода, поэтому по закону косинуса фаза равна π/2 радиан.

Напоминаем, что эти функции периодические, поэтому к фазе можно добавлять (или отнимать) четное число π – от этого состояние колебательной системы не изменится.

Лекция 12. Механические колебания и волны.

План лекции

Гармонические колебания и их характеристики.

Свободные незатухающие механические колебания.

Свободные затухающие и вынужденные механические колебания.

Упругие волны.

Гармонические колебания и их характеристики.

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени, т.е. колебания - периодические изменения какой-либо величины.

В зависимости от физической природы различают механические и электромагнитные колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, изменяющихся при колебаниях системы, повторяются через равные промежутки времени.

Период - это время, за которое совершается одно полное колебание:

где
- число колебаний за время.

Частота колебаний - число полных колебаний, совершенных за единицу времени.

Циклическая или круговая частота - число полных колебаний, совершенных за время 2(единиц времени):

.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания , при которых изменение величины происходит по закону синуса или косинуса (рис.1):

,

где - значение изменяющейся величины;

- амплитуда колебаний, максимальное значение изменяющейся величины;

- фаза колебаний в момент времени(угловая мера времени);

 0 - начальная фаза, определяет значениев начальный момент времени при
,.

Колебательная система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором .

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

Свободные незатухающие механические колебания.

Свободными или собственными называются колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она каким-либо образом была выведена из состояния устойчивого равновесия и представлена самой себе.

Как только тело (или система) выводится из положения равновесия, сразу же появляется сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Эта сила называется возвращающей , она всегда направлена к положению равновесия, происхождение ее различно:

а) для пружинного маятника - сила упругости;

б) для математического маятника - составляющая сила тяжести.

Свободные или собственные колебания - это колебание, происходящие под действием возвращающей силы.

Если в системе отсутствуют силы трения, колебания продолжаются бесконечно долго с постоянной амплитудой и называются собственными незатухающими колебаниями.

Пружинный маятник - материальная точка массойm , подвешенная на абсолютно упругой невесомой пружине и совершающая колебания под действием упругой силы.

Рассмотрим динамику собственных незатухающих колебаний пружинного маятника.

ПоIIзакону Ньютона,

по закону Гука,

где k – жесткость,
;

или
.

Обозначим циклическая частота собственных колебаний.

-дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Решением этого уравнения является выражение: .

период колебаний пружинного маятника.

При гармонических колебаниях полная энергия системы остается постоянной, происходит непрерывный переход ви наоборот.

Математический маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (рис.2).

Можно доказать, что в этом случае

Пружинный и математический маятники являются гармоническими осцилляторами (как и колебательный контур). Гармоническим осциллятором называется система, описываемая уравнением:

.

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Свободные затухающие и вынужденные механические колебания.

Во всякой реальной системе, совершающей механические колебания, всегда действуют те или иные силы сопротивления (трение в точке подвеса, сопротивление окружающей среды и т.п.), на преодоление которых система затрачивает энергию, вследствие чего реальные свободные механические колебания всегда являются затухающими.

Затухающие колебания - это колебания, амплитуда которых убывает со временем.

Найдем закон изменения амплитуды.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы
сила трения пропорциональна скорости:

где r- коэффициент сопротивления среды; знак минус означает, что
всегда направлена противоположно скорости.

Согласно IIзакону Ньютона уравнение движения маятника имеет вид:

Обозначим:

дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Решением этого уравнения является выражение:

,

где циклическая частота свободных затухающих колебаний,

 0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний,

 - коэффициент затухания,

A 0 - амплитуда в начальный момент времени (t=0).

- закон убывания амплитуды.

С течением времени амплитуда убывает по экспоненциальному закону (рис. 3).

Время релаксации - это время, за которое амплитуда уменьшается враз.

.

Таким образом, есть величина, обратная времени релаксации.

Важнейшей характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отличающихся друг от друга по времени на период:

.

Выясним его физический смысл.

За время релаксации система успеет совершитьNколебаний:

т.е. - это величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности:

.

Добротность - физическая величина, пропорциональная числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз (рис. 4,
).

Вынужденными называются колебания, которые совершаются в системе под действием периодически изменяющейся внешней силы.

Пусть внешняя сила изменяется по гармоническому закону:

Кроме внешней силы на колеблющуюся систему действуют возвращающая сила и сила сопротивления, пропорциональная скорости колебаний:

Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Экспериментально установлено, что смещение отстает в своем изменении от вынуждающей силы. Можно доказать, что

где - амплитуда вынужденных колебаний,

- разность фаз колебанийи
,

;
.

Графически вынужденные колебания представлены на рис.5.

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону, то и сами колебания будут гармоническими. Их частота равна частоте вынуждающей силы, а амплитуда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силыприводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда достигает максимума.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы (к резонансной частоте) называется резонансом (рис.6).

Упругие волны.

Любое упругое тело состоит из большого числа частиц (атомов, молекул), взаимодействующих друг с другом. Силы взаимодействия проявляются при изменении расстояния между частицами (при растяжении возникают силы притяжения, при сжатии – отталкивания) и имеют электромагнитную природу. Если какая-либо частица внешним воздействием выводится из положения равновесия, то она потянет за собой в том же направлении другую частицу, эта вторая - третью, и возмущение будет распространяться от частицы к частице в среде с определенной скоростью, зависящей от свойств среды. Если частица была сдвинута вверх, то под действием верхних частиц, отталкивающих, и нижних, притягивающих, она начнет двигаться вниз, пройдет положение равновесия, по инерции сместиться вниз и т.д., т.е. будет совершать гармоническое колебательное движение, вынуждая к колебаниям соседнюю частицу, и т.д. Поэтому при распространении возмущения в среде все частицы совершают колебания с одинаковой частотой, каждая около своего положения равновесия.

Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой волной. Этот процесс периодичен во времени и пространстве. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основное свойство всех волн - перенос энергии без переноса вещества.

Различают продольные и поперечные упругие волны.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис.7).

Для взаимного расположения колеблющихся точек характерны сгущения и разряжения.

При распространении такой волны в среде возникают сгущения и разряжения. Продольные волны возникают в твердых, жидких и газообразных телах, в которых возникают упругие деформации при сжатии или растяжении.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 8).

При распространении поперечной волны в упругой среде образуются гребни и впадины. Поперечная волна возможна в среде, где деформация сдвига вызывает упругие силы, т.е. в твердых телах. На границе раздела 2-х жидкостей или жидкости и газа возникают волны на поверхности жидкости, они вызываются либо силами натяжения, либо силами тяжести.

Таким образом, внутри жидкости и газа возникают только продольные волны, в твердых телах – продольные и поперечные.

Скорость распространения волн зависит от упругих свойств среды и ее плотности. Скорость распространения продольных волн в 1,5 раза больше скорости поперечных.

Распространяясь от одного источника, обе волны приходят к приемнику в разное время. Измеряя разность времен распространения продольных и поперечных волн, можно определить место источника волн (атомного взрыва, эпицентра землетрясения и т.д.).

С другой стороны, скорость распространения волн в земной коре зависит от пород, залегающих между источником и приемником волн. Это является основой геофизических методов исследования состава земной коры и поиска полезных ископаемых.

Продольные волны, распространяющиеся в газах, жидкости и твердых телах и воспринимаемые человеком, называются звуковыми волнами. Их частота лежит в пределах от 16 до 20000 Гц, ниже 16 Гц - инфразвук, выше 20000Гц - ультразвук.

Соколов С.Я., член корреспондент АН СССР, в 1927-28 гг. обнаружил способность ультразвуковых волн проникать сквозь металлы и разработал методику УЗ дефектоскопии, сконструировав первый УЗ генератор на 10 9 Гц. В 1945 году он первым разработал метод преобразования механических волн в видимые световые и создал ультразвуковой микроскоп.

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых распространились колебания к данному моменту времени t, называетсяфронтом волны .

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .

Волновых поверхностей можно провести бесконечно много, но их вид для данной волны одинаков. Волновой фронт представляет собой волновую поверхность в данный момент времени.

В принципе волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае это совокупность параллельных плоскостей или концентрических сфер (рис. 9).

Волна называется плоской , если ее фронт представляет собой плоскость.

Волна называетсясферической , если ее фронт представляет собой поверхность сферы.

Волны, распространяющиеся в однородной изотропной среде от точечных источников, являются сферическими. На большом расстоянии от источника сферическая волна может рассматриваться как плоская.

Принцип Гюйгенса : каждая точка фронта волны (т.е. каждая колеблющаяся частица среды) является источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны представляется огибающей этих вторичных волн.

Это утверждение высказал в 1690 году голландский ученый Гюйгенс. Справедливость его можно проиллюстрировать с помощью волн на поверхности воды, которые имитируют сферические волны, возникающие в объеме упругой среды.

а 1 в 1 - фронт в моментt 1 ,

а 2 в 2 - фронт в моментt 2 .

Перегородив поверхность воды преградой с малым отверстием и направив на преграду плоскую волну, убеждаемся, что за преградой - сферическая волна (рис. 10).

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Получим уравнение бегущей плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а осьYсовпадает с направлением распространения волны.

Уравнение волны определяет зависимость смещения колеблющейся частицы среды от координат и времени.

Пусть некоторая частица среды В (рис. 11) находится на расстоянииу от источника колебаний, расположенного в точкеО . В точкеО смещение частицы среды от положения равновесия происходит по гармоническому закону,

где t - время, отсчитываемое от начала колебаний.

В точке C где
- время, за которое волна от точкиO доходит до точкиC , - скорость распространения волны.

-уравнение плоской бегущей волны .

Это уравнение определяет величину смещения х колеблющейся точки, характеризуемой координатойу , в любой момент времениt .

Если плоская волна распространяется не в положительном направлении оси Y, а в противоположном направлении, то

Т.к. уравнение волны можно записать в виде

Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.

Длина волны - расстояние, на которое распространяется волна за период колебаний частиц среды, т.е.

.

Т.к.

где - волновое число.

В общем случае
.

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

(Undamped oscillations) - колебания, амплитуда которых не убывает со временем, а остается постоянной. Электрические незатухающие колебания в радиотехнике создаются машинами высокой частоты, дуговыми и ламповыми генераторами. Применяются в радиотелеграфе и радиотелефоне.

Самойлов К. И. Морской словарь. - М.-Л.: Государственное Военно-морское Издательство НКВМФ Союза ССР , 1941

Смотреть что такое "НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

незатухающие колебания - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN persistent oscillationssustained vibrationsundamped… …

незатухающие колебания - neslopstantieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. continuous vibrations; persistent vibrations; undamped vibrations vok. kontinuierliche Schwingungen, f; ungedämpfte Schwingungen, f rus. незатухающие колебания, n pranc.… … Fizikos terminų žodynas

мн. незатухающие колебания - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN sustained vibration … Справочник технического переводчика

незатухающие волны (колебания) - Немодулированные колебания высокой частоты и постоянной амплитуды. Часто этим термином называют сигналы прерывистых колебаний по азбуке Морзе. Тематики электросвязь, основные понятия… … Справочник технического переводчика

КОЛЕБАНИЯ - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. В зависимости от природы процесса различают К.: механические, электрические (тока и напряжения), звуковые, электромеханические. Все они могут быть периодическими,… … Большая политехническая энциклопедия

Движения (изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости. При К. маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения. При К. пружинного маятника груза, висящего на пружине,… … Большая советская энциклопедия

незатухающие ультразвуковые колебания в среде - 3.12 незатухающие ультразвуковые колебания в среде: Сигналы, генерируемые преобразователями электроакустическими при подаче непрерывного возбуждающего электрического сигнала. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Незатухающие колебания в к. л. материальной системе, возникающие под действием внешней переменной во времени силы. В линейной диссипативной системе при действии на нее внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону, В. к. имеют частоту… … Математическая энциклопедия

непрерывные колебания - незатухающие колебания — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы незатухающие колебания EN continuous… … Справочник технического переводчика

устойчивые колебания - незатухающие колебания — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы незатухающие колебания EN stable… … Справочник технического переводчика

Зильберман А. Р. Генератор незатухающих колебаний //Квант. - 1990. - № 9. - С. 44-47.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Такие генераторы применяются во многих устройствах - радиоприемниках, телевизорах, магнитофонах, компьютерах, электроорганах и т. п.- и бывают самыми разными. Так, частоты генераторов могут лежать в диапазоне от нескольких десятков герц (низкие ноты в электрооргане) до сотен мегагерц (телевидение) и даже до нескольких гигагерц (спутниковое телевидение, радиолокаторы, используемые сотрудниками ГАИ для определения скорости автомобиля). Мощность, которую может отдать генератор потребителю, составляет от нескольких микроватт (генератор в наручных часах) до десятков ватт (генератор телевизионной развертки), а в некоторых специальных случаях мощность может быть такой, что и писать нет смысла - все равно вы не поверите. Форма колебаний возможна как самая простая - синусоидальная (гетеродин радиоприемника) или прямоугольная (таймер компьютера), так и весьма сложная - «имитирующая» звучание музыкальных инструментов (музыкальные синтезаторы).

Конечно, мы не будем рассматривать все это разнообразие, а ограничимся совсем простым примером - маломощным генератором синусоидального напряжения умеренной частоты (сотни килогерц).

Как известно, в простейшем колебательном контуре, состоящем из идеального конденсатора и идеальной катушки, могут происходить незатухающие гармонические колебания. Уравнение процесса легко получить, приравняв (с учетом знаков) напряжения на конденсаторе и на катушке - ведь они включены параллельно (рис. 1):

\(~\frac qC = -LI"\) .

Ток, протекающий через катушку, изменяет заряд конденсатора; эти величины связаны соотношением

\(~I = q"\) .

Теперь можно записать уравнение

\(~q"" + \frac{q}{LC} = 0\) .

Решение этого уравнения хорошо известно - это гармонические колебания. Их частота определяется параметрами колебательного контура\[~\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] , а амплитуда зависит только от энергии, которую вначале сообщили контуру (и которая для идеального контура остается постоянной).

Что изменится, если элементы контура не идеальные, как и бывает реально на практике (за много лет автор так и не увидел ни одной идеальной катушки, хотя очень интересовался этим вопросом)? Пусть, для определенности, вся неидеальность контура связана с тем, что у катушки, точнее - у провода, из которого она намотана, есть активное (омическое) сопротивление r (рис. 2). На самом деле, конечно, потери энергии есть и у конденсатора (хотя на не очень высоких частотах сделать очень хороший конденсатор можно без особого труда). Да и потребитель отнимает у контура энергию, что также способствует затуханию колебаний. Одним словом, будем считать, что r - это эквивалентная величина, отвечающая за все потери энергии в контуре. Тогда уравнение. процесса приобретает вид

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} = 0\) .

Ясно, что именно второе слагаемое не дает получить желанное уравнение незатухающих колебаний. Поэтому наша задача - это слагаемое скомпенсировать. Физически это означает, что в контур надо подкачать дополнительную энергию, т. е. ввести еще одну ЭДС. Как же это сделать, не разрывая цепь? Проще всего воспользоваться магнитным полем - создать дополнительный магнитный поток, пронизывающий витки катушки контура. Для этого неподалеку от этой катушки нужно разместить еще одну катушку (рис. 3) и пропускать через нее ток, величина которого должна изменяться по нужному закону, т. е. так, чтобы этот ток создал как раз такое магнитное поле, которое, пронизывая катушку контура, создаст в ней такой магнитный поток, который, изменяясь, наведет такую ЭДС индукции, которая в точности скомпенсирует неугодное нам слагаемое в уравнении процесса. Вся эта длинная фраза, напоминающая «дом, который построил Джек»,- просто пересказ известного вам закона Фарадея для явления электромагнитной индукции.

Разберемся теперь с током, который должен течь по дополнительной катушке. Понятно, что для него необходим источник энергии (для пополнения потерь энергии в контуре) и регулирующее устройство, обеспечивающее нужный закон изменения тока со временем. В качестве источника можно использовать обычную батарейку, а в качестве регулирующего устройства - электронную лампу или транзистор.

Транзисторы бывают различных типов - обычные (их называют биполярными) и полевые, которые дополнительно подразделяются на полевые с изолированным затвором (их обычно используют в цифровых устройствах) и с управляющим p -n -переходом. Любой полевой транзистор содержит «канал» с двумя выводами - их изобретательно называют истоком и стоком, а его проводимость регулируется подачей на третий вывод - затвор - управляющего напряжения (рис. 4). В полевом транзисторе с управляющим p -n -переходом - а мы дальше будем говорить именно о нем - затвор отделен от канала именно таким переходом, для чего область затвора делается противоположного по отношению к каналу типа проводимости. Например, если канал имеет примесную проводимость типа p , то затвор - типа n , и наоборот.

Когда на переход подают запирающее напряжение U z (рис. 5), сечение проводящего канала уменьшается, а при определенном напряжении - его называют напряжением отсечки - канал перекрывается полностью и ток прекращается.

Зависимость тока канала I k от напряжения на затворе U z показана на рисунке 6. Зависимость эта почти такая же, как и у электронной лампы (триода). Важно отметить, что управляющее напряжение - запирающее, а значит, ток в цепи управления чрезвычайно мал (обычно он составляет несколько наноампер), соответственно мала и мощность управления, что очень хорошо. При небольших значениях управляющего напряжения зависимость тока от напряжения можно считать линейной и записать в виде

\(~I_k = I_0 + SU_z\) ,

где S - постоянная величина. Для генератора существенны и отклонения от линейности, но об этом позже.

На рисунке 7 изображена принципиальная схема генератора незатухающих колебаний. Здесь управляющим для полевого транзистора напряжением является напряжение на конденсаторе колебательного контура:

\(~U_z = U_C = \frac qC\) ,

и ток через дополнительную катушку равен

\(~I_k = I_0 + \frac{Sq}{C}\) .

Дополнительный магнитный поток пропорционален этому току, а добавочная ЭДС контура равна производной этого потока, взятой с противоположным знаком:

\(~\varepsilon_i = -\Phi" = -(MI_k)" = -\frac{MS}{C} q"\) ,

Знак «минус» тут довольно условен - катушку можно подключить к полевому транзистору либо одним концом, либо другим, при этом знак дополнительной ЭДС изменится на противоположный. Одним словом, дополнительная ЭДС должна быть такой, чтобы скомпенсировать потери энергии в контуре. Запишем еще раз уравнение процесса:

\(~LI" + rI + \frac{q}{C} - \frac{MS}{C} q" = 0\) .

Если выбрать величину М такой, чтобы четвертое слагаемое компенсировало второе, то мы получим уравнение

\(~LI" + \frac{q}{C} = 0\) ,

которое соответствует гармоническим незатухающим колебаниям.

А как можно повлиять на величину М ? Оказывается, она увеличится, если намотать побольше витков в дополнительной катушке или если эту катушку расположить поближе к катушке контура. Нужно сказать, что достаточный для генерации коэффициент М на практике получить довольно просто. Лучше выбрать эту величину с некоторым запасом - при этом получится контур не только без потерь, но даже с подкачкой энергии от внешнего источника (с «отрицательными» потерями). При включении генератора амплитуда колебаний сначала будет возрастать, но через некоторое время установится - энергия, поступающая в контур за один период, станет равной потерям энергии за то же время. И действительно, при увеличении амплитуды напряжения на конденсаторе (управляющее напряжение полевого транзистора) транзистор начинает усиливать хуже, поскольку при большом отрицательном напряжении ток в цепи канала прекращается, а при положительных напряжениях переход начинает открываться, что тоже увеличивает потери в контуре. В результате колебания получаются не совсем синусоидальными, но, если потери в контуре невелики, искажения незначительны.

Для того чтобы использовать полученные колебания - а ведь именно для этого и делается генератор,- нужно либо подключиться непосредственно к контуру, либо намотать еще одну катушку. Но в обоих случаях необходимо учесть «уход» энергии из контура и скомпенсировать его в числе прочих потерь.

Гармонические колебания.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебательное движение и вызываемые им волны очень часто встречаются в природе и технике. Колеблются мосты под действием проходящих по ним поездов, совершает колебания барабанная перепонка уха, вибрируют части зданий, ритмично сокращается сердечная мышца.

Взависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и др.. Мы рассмотрим механические колебания.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из тела (шар) некоторой массы m, нанизанного на стержень, и пружины с жёсткостью k, соединяющей его с неподвижной стеной. Направим ось OX вдоль стержня, а начало координат совместим с центром шара, при условии, что пружина находится в недеформированном состоянии. Сместим шар на расстояние X 0 от положения равновесия (см. рис.1). Тогда со стороны пружины на тело будет действовать упругая сила F=-kX 0 (1). Эта сила, как видно из уравнения (1), пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную смещению. Её называют возвращающей силой. Кроме того, система будет обладать запасом потенциальной энергии
. Если отпустить груз, то под действием упругой силы он станет двигаться к положению равновесия, при этом его потенциальная энергия будет уменьшаться, переходя в кинетическую
, возвращающая сила будет убывать и в положении равновесия станет равной нулю, но тело в положении равновесия не остановиться, а по инерции будет продолжать движение. Его кинетическая энергия будет переходить в потенциальную, возвращающая сила станет расти, но её направление изменится на противоположное. В системе возникнут колебания. При колебательном движении положение тела в каждый данный момент времени характеризуется расстоянием от положения равновесия, которое называется смещением. Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

1. Незатухающие гармонические колебания.

Пусть на тело массой m действует сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия (возвращающая сила) и пропорциональная смещению от положения равновесия, т.е. сила упругости F УПР = -kX . Если трение отсутствует, тогда уравнение второго закона Ньютона для тела имеет вид:

;
или
.

Обозначим
, получим
. (1)

Уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка, с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (1) будет законом свободных или собственных незатухающих колебаний:

,

где A – величина наибольшего отклонения от положения равновесия, которая называется амплитудой (амплитуда – постоянная, положительная величина);
- фаза колебаний;- начальная фаза.

Графически незатухающие колебания представлены на рис.2:

Т – период колебания (промежуток времени одного полного колебания);
, где - круговая или циклическая частота,
, ν называется частотой колебания.

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения для смещения:

где
- максимальная скорость (амплитуда скорости). Продифференцировав это выражение, найдём ускорение:

где
- максимальное ускорение.

1. Затухающие гармонические колебания.

В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колеблющейся системе будет действовать сила трения (сила сопротивления среды), которая при небольших скоростях пропорциональна скорости движения тела:
, гдеr – коэффициент сопротивления. Если ограничиться учётом возвращающей силы и силы трения, то уравнение движения примет вид:
или
, разделив наm, получим:
, обозначив
,
, получим:
. Это уравнение носит название линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения будет законом свободных затухающих колебаний, и будет иметь следующий вид: .

Из уравнения видно, что амплитуда
не является постоянной, а зависит от времени и убывает по экспоненциальному закону. Как и для незатухающих колебаний, величина ω – называется круговой частотой:
, где
- коэффициент затухания;

-начальная фаза.

Графически затухающие колебания представлены на рис.3.

Определим период колебаний
или
, откуда видно, что колебания в системе могут возникать только при условии если сопротивление незначительно
. Период колебаний практически равен
.

С ростом коэффициента затухания, период колебаний увеличивается и при
обращается в бесконечность. Движение перестаёт быть периодическим. Выведенная из положения равновесия система возвращается в состояние равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим.

На рис.4 показан один из случаев возвращения системы в положение равновесия при апериодическом движении. В соответствии с указанной кривой спадает заряд на мембранах нервных волокон человека.

Для характеристики скорости затухания колебаний вводится понятие коэффициента затухания
. Найдём время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшится вe раз:

, т.е.

откуда βτ=1, следовательно . Коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшится вe раз. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, равное
называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

.