Уравнения максвелла и их физический смысл. Свойства уравнений Максвелла:1. Уравнения Максвелла линейны

(конспектируем курсив)

1. Ток смещения

2. Система уравнений Максвелла

3. ЭМ волны и их характеристики

4. Получение ЭМ волн – опыты Герца

5. Применение ЭМ волн

1. В реальной жизни не существует отдельно электрического и магнитного полей, есть единое электромагнитное поле.

Теория электромагнитного поля, на­чала которой заложил Фарадей, математически была заверше­на Максвеллом. Важной выдвинутой Максвеллом идеей, была мысль о симметрии во взаимо­зависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dB/dt) со­здает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dE/dt) создает магнитное поле.

Согласно теореме о циркуля­ции вектора Н

Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. а).

В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, на­пример S и S".Обе поверх­ности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверх­ность S" нет тока. Поверхность S" «прони­зывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность

D dS = q

Согласно определения плотности тока имеем

Сложим левые и правые части уравнений, получим

Из уравнения видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое dD/dt,размерность которого равна размерности плотности тока.

Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:

J см = dD/dt.

Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током.

Линии полного тока являются непрерывны­ми в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.

Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости толь­ко в отношении способности создавать магнитное поле.

Токи смещения существуют лишь там, где меняется со вре­менем электрическое поле. В сущности он сам является переменным электрическим полем.

Открытие Максвеллом тока смещения - чисто теоретическое открытие, причем первосте­пенной важности.

2. С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения ( dD/dt) позволило Максвеллу создать единую теорию электриче­ских и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяс­нила все разрозненные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых яв­лений, существование которых подтвердилось впоследствии.

В основе электромагнитной теории Максвелла лежат четыре фунда­ментальных уравнений электродинамики, называемые уравне­ниями Максвелла.

Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.

1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным конту­ром. При этом под Е понимается не только вихревое электриче­ское поле, но и электростатическое.

2. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверх­ность всегда равен нулю.

3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) че­рез произвольную поверхность, ограниченную данным конту­ром.

4. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассмат­ривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электро­магнитное поле.

Эти уравнения говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником яв­ляются электрические заряды, как сторонние, так и связан­ные. Во-вторых, поле Е образу­ется всегда, когда меняется во времени магнитное поле.

Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле В мо­жет возбуждаться либо движущимися электрическими заряда­ми (электрическими токами), либо переменными электриче­скими полями, либо тем и другим одновременно. Никаких ис­точников магнитного поля, подобных электрическим зарядам, в природе не существует, это следует из второго уравнения.

Значение уравнений Максвелла не только в том, что они выражают основные законы электро­магнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегриро­вания) могут быть найдены сами поля Е и В.

Уравнения Максвелла обладают большей общностью, они справедливы и в тех случаях, когда существуют повер­хности разрыва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно.

Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений элек­тромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахож­дения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Их необходимо дополнить соотношениями, эти соотношения называют материаль­ными уравнениями.

Материальные уравнения наиболее просты в случае доста­точно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, материальные уравнения имеют следующий вид:

=εε 0

=μμ 0

=γ( + ст)

Уравнения Максвелла обладают рядом свойств.

1 свойства – линейности.

Уравнения Максвелла линейны, т.к. они содержат только пер­вые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических заря­дов и токов.

Свойство линейности уравнений Максвелла не­посредственно связано с принципом суперпозиции: если два ка­ких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

2 свойство – непрерывности .

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.

3 свойство – инвариантности.

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски инвариантны­ми. Это есть следствие принципа относительности, согласно ко­торому все инерциальные системы отсчета физически эквива­лентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвел­ла подтверждается многочисленными опытными данными.

Уравнения Максвелла являются правильными реляти­вистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

4 свойство – симметрии.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существу­ют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

В нейтральной од­нородной непроводящей среде уравнения Мак­свелла приобретают симметричный вид.

Из уравнений Максвелла сле­дует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно сущест­вовать самостоятельно - без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоро­стью, равной скорости с.

Выяснилось также, что ток смещения (dD/dt)играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной dB/dtи означает возможность появления электро­магнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля элек­трического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.

За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться - электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.

Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила устано­вить все их основные свойства.

3. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году.

Гипотеза Максвелла была лишь теоретическим предположением, не имеющим экспериментального подтверждения, однако на ее основе Максвеллу удалось записать непротиворечивую систему уравнений, описывающих взаимные превращения электрического и магнитного полей, то есть систему уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов, одним из них явился вывод о существовании электромагнитных волн.

Электромагнитные волны поперечны – векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис.).

Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью

Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.

4. Максвелл утверждал, что электромагнитные волны обладают свойствами отражения, преломления, дифракции и т.д. Но любая теория становится доказанной лишь после ее подтверждения на практике. Но в то время ни сам Максвелл, ни кто-либо другой еще не умели экспериментально получать электромагнитные волны. Это произошло только после 1888 года , когда Герц экспериментально открыл электромагнитные волны.

В результате экспериментов Герц создал источник электромагнитных волн, названный им "вибратором" . Вибратор состоял из двух проводящих сфер (в ряде опытов цилиндров) диаметром 10-30 см, укрепленных на концах проволочного разрезанного посредине стержня . Концы половин стержня в месте разреза оканчивались небольшими полированными шариками , образуя искровой промежуток в несколько миллиметров.

Сферы подсоединялись ко вторичной обмотке катушки Румкорфа, являвшейся источником высокого напряжения.

Из теории Максвелла известно,

1)излучать электромагнитную волну может только ускоренно движущийся заряд,

2)что энергия электромагнитной волны пропорциональна четвертой степени ее частоты.

Понятно, что ускоренно заряды движутся в колебательном контуре, поэтому проще всего их использовать для излучения электромагнитных волн. Но надо сделать так чтобы частота колебаний зарядов стала как можно выше. Из формулы Томсона для циклической частоты колебаний в контуре следует, что для повышения частоты надо уменьшать емкость и индуктивность контура .

Чтобы уменьшить емкость C надо увеличивать расстояние между пластинами (раздвигать их, делать контур открытым) и уменьшать площадь пластин. Самая маленькая емкость, которая может получиться, - просто провод.

Чтобы уменьшить индуктивность L надо уменьшать число витков. В результате этих преобразований получим просто кусок провода или открытый колебательный контур ОКК.

Суть происходящих в вибраторе явлений заключается в следующем. Индуктор Румкорфа создает на концах своей вторичной обмотки очень высокое, порядка десятков киловольт, напряжение, заряжающее сферы зарядами противоположных знаков. В определенный момент в искровом промежутке вибратора возникает электрическая искра, делающая сопротивление его воздушного промежутка столь малым, что в вибраторе возникают высокочастотные затухающие колебания, длящиеся во все время существования искры. Поскольку вибратор представляет собой открытый колебательный контур, происходит излучение электромагнитных волн.

После огромной серии трудоемких и чрезвычайно остроумно поставленных опытов с использованием простейших, так сказать, подручных средств экспериментатор достиг цели. Удалось измерить длины волн и рассчитать скорость их распространения. Были доказаны

· наличие отражения,

· преломления,

· дифракции,

• интерференции и поляризации волн.
• измерена скорость электромагнитной волны

5. Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет после опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859-1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практического использования электромагнитных волн для беспроволочной связи, преобразившей жизнь человечества. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.

Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолокации - обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолокации используются для наблюдения прохождения и образования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.

Для электромагнитных волн характерно явление дифракции - огибание волнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпук­лостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототелеграфии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстояния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радио-геодезии для очень точного определения расстояний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки и техники, где бы они не использовались.

Для осуществления радио- и телевизионной связи используются электромагнитные волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.

При передаче по радио речи, музыки и других звуковых сигналов применяют различные виды модуляции высокочастотных (несущих) колебаний. Суть модуляции заключается в том, что высокочастотные колебания, вырабатываемые генератором, изменяют по закону низкой частоты. В этом и заключается один из принципов радиопередачи. Другим принципом является обратный процесс - детектирование. При радиоприеме из принятого антенной приемника модулированного сигнала нужно отфильтровать звуковые низкочастотные колебания.
С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображения предметов.

Похожая информация.

Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:

Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:

Примечание 1

Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.

В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.

Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .

Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):

Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.

Рисунок 1.

Определение 1

Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:

Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:

Формула Максвелла

Определение 2

Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:

\ \

Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:

Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.

Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.

Пример 1

Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.

Решение:

За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]

где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:

В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:

Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:

где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:

\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]

где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:

\ \

Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:

Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$

Пример 2

Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.

Решение:

Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:

где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).

Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.

Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда. 3. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отчета. 4. Уравнения Максвелла симметричны.

6.3.4. Электромагнитные волны

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать самостоятельно, без электрических зарядов и токов. Изменяющееся электромагнитное поле имеет волновой характер и распространяется в вакууме в виде электромагнитных волн со скоростью света.

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла, которые описываются волновыми уравнениями для векторов исоответственно:

, (5.19)

Изменение во времени магнитного поля возбуждает переменное электрическое поле и, наоборот, изменение во времени электрического поля возбуждает переменное магнитное поле. Вихревое электрическое поле, индуцированное переменным магнитным полем , образует с векторомлевовинтовую систему (рис. 7.2), а вихревое магнитное поле, индуцированное электрическим полем, образует с векторомправовинтовую систему (рис. 5.2).

Происходит непрерывное их взаимопревращение, что и дает возможность

существовать и распространяться им в пространстве и времени при отсутствии зарядов и токов.

Таким образом, теория Максвелла не только предсказала существование электромагнитных волн, но и установила их важнейшие свойства:

Скорость распространения электромагнитной волны в нейтральной непроводящей и неферромагнитной среде

(5.20)

где c  скорость света в вакууме.

Рис. 5.3 Рис. 5.4

существует связь, а именно: Е = vB или
. (5.21)

Существование электромагнитных волн позволило Максвеллу объяснить волновую природу света. Свет  это электромагнитные волны.

6.3.5. Поток энергии электромагнитного поля

При распространении электромагнитных волн в пространстве и времени они несут с собой энергию. Она заключена во взаимно превращающихся электрическом и магнитном полях.

Объемная плотность энергии электрического поля

, (5.22)

где Е  напряженность электрического поля.

Объемная плотность энергии магнитного поля

, (5.23)

где В  индукция магнитного поля.

Следовательно, объемная плотность энергии электромагнитного поля в той области пространства, где находится в произвольный момент времени электромагнитная волна,

W = w э + w м =
. (5.24)

Или с учетом того, что Е = сВ и
, имеем

w =  o E 2 , (5.25)

или
. (5.26)

Энергию, переносимую электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, называют плотностью потока электромагнитной энергии. Вектор плотности потока электромагнитной энергии называют вектором Пойнтинга.

Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, т. е. с направлением переноса энергии. Скорость переноса энергии равна фазовой скорости этой волны.

Если электромагнитная волна при распространении проходит сквозь некотoрую площадку S, перпендикулярную к направлению распространения ее, например, вдоль оси Х, то за некоторый промежуток времени dt волна пройдет расстояние dx = cdt, где с  скорость распространения волны.

Так как объемная плотность энергии электромагнитной волны

то полная энергия dW электромагнитной волны, заключенная в объеме

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Следовательно, плотность потока электромагнитной энергии, проходящей через площадку S за время dt

. (5.28)

Вектор Пойнтинга совпадает по направлению со скоростью распространения электромагнитной волны, которая перпендикулярна и , т. е.

. (5.29)

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны

В процессе распространения механической волны в упругой среде в колебательное движение вовлекаются частицы среды. Причиной этого процесса является наличие взаимодействия между молекулами.

Помимо упругих волн в природе существует волновой процесс иной природы. Речь идет об электромагнитных волнах, представляющих собой процесс распространения колебаний электромагнитного поля. По существу мы живем в мире ЭМВ. Их диапазон невероятно широк – это радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ – лучи. Особое место в этом многообразии занимает видимая часть диапазона – свет. Именно с помощью этих волн мы получаем подавляющее количество информации об окружающем мире.

Что такое электромагнитная волна? Какова ее природа, механизм распространения, свойства? Существуют ли общие закономерности, характерные как для упругих, так и для электромагнитных волн?

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны интересны тем, что первоначально они были «открыты» Максвеллом на бумаге. Основываясь на предложенной им системе уравнений, Максвелл показал, что электрическое и магнитное поля могут существовать в отсутствие зарядов и токов, распространяясь в виде волны со скоростью 3∙10 8 м/с. Спустя почти 40 лет предсказанный Максвеллом материальный объект – ЭМВ – был обнаружен Герцем экспериментально.

Уравнения Максвелла являются постулатами электродинамики, сформулированными на основе анализа опытных фактов. Уравнения устанавливают связь между зарядами, токами и полями – электрическим и магнитным. Обратимся к двум уравнениям.

1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на контур (это закон электромагнитной индукции Фарадея):

(1)

Физический смысл этого уравнения – меняющееся магнитное поле порождает электрическое поле .

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения потока вектора электрической индукции через поверхность, натянутую на контур:

Физический смысл этого уравнения – магнитное поле порождаетcя токами и меняющимся электрическим полем .

Даже без каких-либо математических преобразований этих уравнений понятно: если в какой-то точке меняется электрическое поле, то в соответствии с (2) возникает магнитное поле. Это магнитное поле, изменяясь, порождает в соответствие с (1) электрическое поле. Поля взаимно индуцируют друг друга, они уже не связаны с зарядами и токами!

Более того, процесс взаимного индуцирования полей будет распространяться в пространстве с конечной скоростью, то есть возникает электромагнитная волна. Для того, чтобы доказать факт существования в системе волнового процесса, в котором колеблется величина S, необходимо получить волновое уравнение

Рассмотрим однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Пусть в этой среде существуют магнитное поле . Для простоты будем полагать, что вектор напряженности магнитного поля располагается вдоль оси ОY и зависит только от координаты z и времени t: .

Записываем уравнения (1) и (2) с учетом связи между характеристиками полей в однородной изотропной среде: и :

Найдем поток вектора через прямоугольную площадку KLMN и циркуляцию вектора по прямоугольному контуру KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b , LM = KN = a )

Очевидно, что поток вектора через площадку KLMN и циркуляция по контуру KLPQ отличны от нуля. Тогда циркуляция вектора по контуру KLMN и поток вектора через поверхность KLPQ тоже отличны от нуля. Такое возможно только при условии, что при изменении магнитного поля возникло электрическое поле , направленное вдоль оси ОX.

Вывод 1: При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна индукции магнитного поля .

С учетом сказанного система уравнений перепишется

После преобразований получаем:

В технике СВЧ интерес представляет в основном поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону (т.е. носят синусоидальный характер).

Пользуясь комплексным методом, запишем векторы электрического и магнитного полей:

,
, (33)

где – круговая частота
.

Подставим эти выражения в I и II – е уравнения Максвелла

,
.

После дифференцирования имеем:

, (34)

. (35)

Уравнение (34) можно преобразовать к виду:

,

где
– комплексная относительная диэлектрическая проницаемость с учётом потерь в среде.

Отношение мнимой части комплексной относительной диэлектрической проницаемости к действительной представляет тангенс угла диэлектрических потерь
. Таким образом уравнения Максвелла для гармонических колебаний при отсутствии свободных зарядов
имеют вид:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

В таком виде уравнения Максвелла неудобны и их преобразуют.

Уравнения Максвелла легко сводятся к волновым уравнениям, в которые входит только один из векторов поля. Определяя
из (37) и подставляя его в (36), получаем:

раскроем левую часть используя формулу III:

Введём обозначения
,тогда с учётом
, получим:

. (40)

Такое же уравнение можно получить относительно

. (41)

Уравнения (40) – (41) получили название уранений Гельмгольца. Они описывают распространение волн в пространстве и являются доказательством того, что изменение во времени электрического и магнитного полей приводит к распространению электромагнитных волн в пространстве.

Эти уравнения справедливы для любой системы координат. При использовании прямоугольной системы координат будем иметь:

, (42)

, (43)

где
– едичничные векторы

Если подставить соотношение (42) и (43) в уравнения (40) и (41), то последние распадаются на шесть независимых уравнений:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

где
.

В общем случае в прямоугольной ситеме координат для нахождения составляющих поля необходимо решить одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка

,

где – одна из составляющих поля, т.е.
. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (46)

где
– функция распределения поля в плоскости фронта волны не зависящая от.

Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Умова-Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заключённого внутри объёма , складывается из энергии электрического поля:

, (47)

и энергии магнитного поля:

. (48)

Таким образом, полная энергия электромагнитного поля равна:

. (49)

В 1874г. проф. Н. А. Умов ввел понятие о потоке энергии, а в 1880г. это понятие было применено Пойнтингом к исследованию электромагнитных волн. Процесс излучения в электродинамике принято характеризовать, определяя в каждой точке пространства вектор Умова-Пойнтинга.

Физически правильные результаты, согласующиеся как с законом сохранения энергии, так и с уравнениями Максвелла, получается в том случае, если выразить вектор Умова-Пойнтинга через мгновенные значения
и
следующим образом:

.

Возьмём первое и второе уравнения Максвелла и умножим первое на , а второе на
и сложим:

,

где .

Таким образом, уравнение (50) можно записать в виде

,

интегрируя по объему и меняя знаки, имеем:

Перейдем от интеграла по объему к интегралу по поверхности

,

или с учетом
получим:

, то
,
,

. (51)

Полученное уравнение выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле (теорему Умова-Пойнтинга.). Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения во времени полного запаса энергии электромагнитного поля в рассмотренном объеме
. Первый член правой части есть количество тепла, выделяющегося в проводящих частях объёмаза единицу времени. Второе слагаемое представляет поток вектора Умова-Пойнтинга через поверхность, ограничивающую объем.Вектор
есть плотность потока энергии электромагнитного поля. Т.к.
, то направление вектора
можно определить по правилу векторного произведения /правилу буравчика/ (рис. 9). В системеСИ вектор
имеет размерность
.

Рисунок 9 – К определению вектора Умова-Пойнтинга