Силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Силовые и эквипотенциальные линии
Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением . Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии .
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определитьмежду двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:
Графическое изображение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей показано на рисунке 3.4.
При перемещении по этой поверхности на dl потенциал не изменится:
Отсюда следует, что проекция вектора на dl равнанулю, то есть Следовательно, в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.
Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциаловмежду двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:
С другой стороны работу можно представить в виде:
, тогда 
Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим:
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми:они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность (рис. 3.4).
Это соотношение верно только для электростатического поля. Впоследствии мы с вами выясним, что поле движущихся зарядов не является потенциальным, и для него это соотношение не выполняется.
Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.
Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.
Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.
Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().
Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.
Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.
Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.
Р
ассмотрим
эквипотенциальную поверхность:
(так
как точки лежат на эквипотенциальной
поверхности).
–
скалярное
произведение
Линии
напряженности электростатического
поля пронизывают эквипотенциальную
поверхность под углом 90 0 ,
тогда угол между векторами
равен
90 градусам, а их скалярное произведение
равно 0.
Уравнение эквипотенциальной линии
Рассмотрим силовую линию:
Н
апряженность
электростатического поля направлена
по касательной к силовой линии (см.
определение силовой линии), также
направлен и элемент пути
,
поэтому угол между этими двумя векторами
равен нулю.
или 
Уравнение силовой линии
Градиент потенциала
Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.
Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.
Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.
В определении градиента существенны два положения:
Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.
Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.
Для декартовой системы координат:
Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:
; 
;
Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х , взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z .
; 
;
.
В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид.
Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля.
Хотелось бы иметь возможность наглядно представить себе электростатическое поле. Поле скалярного потенциала можно геометрически представить себе как совокупность эквипотенциальных поверхностей (в плоском случае - линий), или поверхностей уровня, как их называют математики:
Для каждой такой поверхности имеет место условие (в силу определения!):
(*)
Представим это условие в эквивалентной форме записи:
Здесь принадлежит рассматриваемой поверхности, вектор перпендикулярным элементу поверхности (скалярное произведение неравных нулю векторов равно нулю именно при этом условии). Мы имеем возможность определит единичный вектор нормали к рассматриваемому элементу поверхности:
Если вернуться к физике, заключаем, что вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности этого поля!
Математическое содержание понятия "градиент скалярного поля" :
Направление вектора - это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро;
Это приращение функции на единице длины вдоль направления максимального возрастания.
Как построить эквипотенциальную поверхность?
Пусть эквипотенциальная поверхность, заданная уравнением (*), проходит через точку пространства с координатами (x,y,z ). Зададим произвольно малые смещения двух координат, например x=>x+dx и y=>y+dy. Из уравнения (*) определяем необходимое смещение dz , такое, чтобы конечная точка осталась на рассматриваемой эквипотенциальной поверхности. Таким способом можно "добраться" до нужной точки поверхности.
Силовая линия векторного поля .
Определение. Касательная к силовой линии совпадает по направлению с вектором, определяющим рассматриваемое векторное поле.
Вектор и вектор совпадают по направлению (т.е. параллельны друг другу), если
В координатной форме записи имеем:
Легко видеть, что справедливы соотношения:
К такому же результату можно придти, если записать условие параллельности двух векторов с помощью их векторного произведения:
Итак, имеем векторное поле . Рассмотрим элементарный вектор 
как элемент силовой линии векторного поля .
В соответствие с определением силовой линии должны выполняться соотношения:
(**)
Так выглядят дифференциальные уравнения силовой линии. Получить аналитическое решение этой системы уравнений удаётся в очень редких случаях (поле точечного заряда, постоянное поле и т.п.). Но построить графически семейство силовых линий несложно.
Пусть силовая линия проходит через точку с координатами (x,y,z ). Значения проекций вектора напряжённости на координатные направления в этой точке нам известны. Выберем произвольно малое смешение, например, х=>x+dx . По уравнениям (**) определяем требуемые смещения dy и dz . Так мы перешли в соседнюю точку силовой линии, Процесс построения можно продолжить.
NB! (Nota Bene!). Силовая линия не полностью определяет вектор напряжённости. Если на силовой линии задано положительное направление, вектор напряжённости может быть направлен либо в положительную, либо в отрицательную сторону (но по линии!). Силовая линия не определяет модуль вектора (т.е. его величину) рассматриваемого векторного поля.
Свойства введённых геометрических объектов:
Для более наглядного графического изображения полей, кроме линий напряжённости, используют поверхности равного потенциала или эквипотенциальные поверхности. Как следует из названия, эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
Линии напряжённости поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Докажем это утверждение.
Пусть линия и силовая линия составляют некоторый угол (рис.1.5).
Переместим из точки 1 в точку 2 вдоль линии пробный заряд . При этом силы поля совершают работу:
. (1.5)
То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом – как произведение заряда на модуль напряженности поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения и на косинус угла между вектором и вектором перемещения , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):
.
Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что и, соответственно, , что и требовалось доказать.
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.
На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.
Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.
1.8. Связь между напряжённостью поля и потенциалом
(градиент потенциала)
Пусть имеется произвольное электростатическое поле. В этом поле проведём две эквипотенциальные поверхности таким образом, что они отличаются одна от другой потенциалом на величину dφ
(рис. 1.7)
Вектор напряжённости направлен по нормали к поверхности . Направление нормали совпадает с направлением оси x. Ось x
, проведённая из точки 1, пересекает поверхность 
в точке 2.
Отрезок dx представляет собой кратчайшее расстояние между точками 1 и 2. Работа, совершаемая при перемещении заряда вдоль этого отрезка:
С другой стороны, эту же работу можно записать как:
Приравнивая эти два выражения, получаем:
где символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование производиться только по x . Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z , можем найти вектор :
, (1.7)
где – единичные векторы координатных осей x, y, z.
Вектор, определяемый выражением (1.7), называется градиентом скаляра φ . Для него наряду с обозначением применяется также обозначение . («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
Связь между напряженностью и потенциалом.
Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь
где ("набла") - оператор Гамильтона. 
Поскольку 
то
Знак минус показывает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала.
Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.
Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями - сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).
Для точечного заряда потенциал 
поэтому эквипотенциальные поверхности - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Можно показать, что во всех случаях вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала.
Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.
1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.
Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<< r).
Плечо диполя l - вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.
Электрический момент диполя ре - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда |q| на плечо I:
Пусть r - расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что
2)Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при
Точка В равноудалена от зарядов +q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю. Вектор Ёв направлен противоположно вектору l .
3)Во внешнем электрическом поле на концы диполя действует пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы электрический момент ре диполя развернулся вдоль направления поля Ё (рис.(а)).
Во внешнем однородном поле момент пары сил равен M = qElsin а или 
Во внешнем неоднородном поле (рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковы 
и их результирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью - диполь втягивается в область более сильного поля.
2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.
Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью 
Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.
В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях.
Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен . По теореме Гаусса 
откуда: 
Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, равна
3.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов σ>0 и - σ.
Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности Е 1 и E 2 первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены перпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей они компенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарная напряженность 
. Поэтому между плоскостями
(в диэлектрике. ).
Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов между плоскостями.
(в диэлектрике 
).
4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью 
Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально.
В качестве Гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q. По теореме Гаусса , откуда 
При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы
(r1 >R,r2 >R), равна
Вне заряженной сферы поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал всюду одинаков и такой же, как на поверхности
