Найти множество решений однородной системы линейных уравнений. Системы линейных однородных уравнений

Решение находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений.
Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.

Пример 2 . Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы
Решение.



,
отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.

Задание . Исследовать и решить систему линейных уравнений.
Пример 4

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Выпишем основную матрицу системы:

Задача . Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув . Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений . Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые , поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений .

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов . Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо .

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Пусть М 0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений.

Определение 6.12. Векторы с 1 , с 2 , …, с p , являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений (сокращенно ФНР), если

1) векторы с 1 , с 2 , …, с p линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя выразить через другие);

2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с 1 , с 2 , …, с p .

Заметим, что если с 1 , с 2 , …, с p – какой-либо ф.н.р., то выражением k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + … + k p ×с p можно описать все множество М 0 решений системы (4), поэтому его называют общим видом решения системы (4).

Теорема 6.6. Любая неопределенная однородная система линейных уравнений обладает фундаментальным набором решений.

Способ нахождения фундаментального набора решений состоит в следующем:

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений;

Построить (n – r ) частных решений этой системы, при этом значения свободных неизвестных должны образовывать единичную матрицу;

Выписать общий вид решения, входящего в М 0 .

Пример 6.5. Найти фундаментальный набор решений следующей системы:

Решение . Найдем общее решение этой системы.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ В этой системе пять неизвестных (n = 5), из них главных неизвестных два (r = 2), свободных неизвестных три (n – r ), то есть в фундаментальном наборе решений содержится три вектора решения. Построим их. Имеем x 1 и x 3 – главные неизвестные, x 2 , x 4 , x 5 – свободные неизвестные

Значения свободных неизвестных x 2 , x 4 , x 5 образуют единичную матрицу E третьего порядка. Получили, что векторы с 1 , с 2 , с 3 образуют ф.н.р. данной системы. Тогда множество решений данной однородной системы будет М 0 = {k 1 ×с 1 + k 2 ×с 2 + k 3 ×с 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R}.

Выясним теперь условия существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений, другими словами условия существования фундаментального набора решений.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, то есть является неопределенной, если

1) ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных;

2) в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных;

3) если в однородной системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, и определитель основной матрицы равен нулю (т. е. |A | = 0).

Пример 6.6 . При каком значении параметра a однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения?

Решение . Составим основную матрицу этой системы и найдем ее определитель: = = 1×(–1) 1+1 × = –а – 4. Определитель этой матрицы равен нулю при a = –4.

Ответ : –4.

7. Арифметическое n -мерное векторное пространство

Основные понятия

В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.

Определение 7.1. n -мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.

Значит а = (a 1 , a 2 , …, a n ), где a i Î R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа a i называются его координатами .

Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.

Все множество n -мерных векторов принято обозначать как R n .

Определение 7.2. Два вектора а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n .

Определение 7.3. Суммой двух n -мерных векторов а = (a 1 , a 2 , …, a n ) и b = (b 1 , b 2 , …, b n ) называется вектор a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , …, a n + b n ).

Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (a 1 , a 2 , …, a n ) называется вектор k ×а = (k ×a 1 , k ×a 2 , …, k ×a n )

Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором ).

Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами: " a , b , c Î R n , " k , l Î R:

1) a + b = b + a ;

2) a + (b + c ) = (a + b ) + c ;

3) a + о = a ;

4) a + (–a ) = о ;

5) 1×a = a , 1 Î R;

6) k ×(l ×a ) = l ×(k ×a ) = (l ×k )×a ;

7) (k + l )×a = k ×a + l ×a ;

8) k ×(a + b ) = k ×a + k ×b .

Определение 7.6. Множество R n с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством .

Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :

Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.

Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.

Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:

Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:

Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.

При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:

получим упрощенную систему

Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим

Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 - решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.

Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:

Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .

Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:

Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:

Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n - r = 5 - 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор

.

Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:

Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим

, .

Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид

С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы . Действительно, пусть Y 0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY 0 = B , и Y - общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B . Вычитая одно равенство из другого, получим
A (Y-Y 0) = 0, т.е. Y - Y 0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX =0. Следовательно, Y - Y 0 = X , или Y = Y 0 + X . Что и требовалось доказать.

Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике - принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Однородная система всегда совместна и имеет тривиальное решение
. Для существования нетривиального решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:

.

Фундаментальной системой решений однородной системы
называют систему решений в виде векторов-столбцов
, которые соответствуют каноническому базису, т.е. базису, в котором произвольные постоянные
поочередно полагаются равными единице, тогда как остальные приравниваются нулю.

Тогда общее решение однородной системы имеет вид:

где
- произвольные постоянные. Другими словами, общее решение есть линейная комбинация фундаментальной системы решений.

Таким образом, базисные решения могут быть получены из общего решения, если свободным неизвестным поочередно придавать значение единицы, полагая все остальные равные нулю.

Пример . Найдем решение системы

Примем , тогда получим решение в виде:

Построим теперь фундаментальную систему решений:

.

Общее решение запишется в виде:

Решения системы однородных линейных уравнений имеют свойства:

Другими словами, любая линейная комбинация решений однородной системы есть опять решение.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений интересует математиков несколько столетий. Первые результаты были получены в XVIII веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил новый метод решения, известный как метод исключения.

Метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Такие системы позволяют последовательно находить все неизвестные в определенном порядке.

Предположим, что в системе (1)
(что всегда возможно).

(1)

Умножая поочередно первое уравнение на так называемые подходящие числа

и складывая результат умножения с соответствующими уравнениями системы, мы получим эквивалентную систему, в которой во всех уравнениях, кроме первого, будет отсутствовать неизвестная х 1

(2)

Умножим теперь второе уравнение системы (2) на подходящие числа, полагая, что

,

и складывая его с нижестоящими, исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего.

Продолжая этот процесс, после
шага мы получим:

(3)

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1) несовместна. Обратно, для любой совместной системы числа
равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы (1).

Переход от системы (1) к (3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из (3) – обратным ходом .

Замечание : Преобразования удобнее производить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы (1).

Пример . Найдем решение системы

.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Прибавим к строкам 2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2) соответственно:

.

Поменяем строки 2 и 3 местами, затем в получившейся матрице добавим к строке 4 строку 2, умноженную на :

.

Прибавим к строке 4 строку 3, умноженную на
:

.

Очевидно, что
, следовательно, система совместна. Из полученной системы уравнений

находим решение обратной подстановкой:

,
,
,
.

Пример 2. Найти решение системы:

.

Очевидно, что система несовместна, т.к.
, а
.

Достоинства метода Гаусса :

Менее трудоемкий, чем метод Крамера.

Однозначно устанавливает совместность системы и позволяет найти решение.

Дает возможность определить ранг любых матриц.