Магнитная индукция кругового проводника с током. Магнитное поле оси кругового тока

Цель работы : изучить свойства магнитного поля, ознакомиться с понятием магнитной индукции. Определить индукцию магнитного поля на оси кругового тока.

Теоретическое введение. Магнитное поле. Существование в природе магнитного поля проявляется в многочисленных явлениях, простейшими из которых являются взаимодействие движущихся зарядов (токов), тока и постоянного магнита, двух постоянных магнитов. Магнитное поле векторное . Это означает, что для его количественного описания в каждой точке пространства необходимо задать вектор магнитной индукции. Иногда эту величину называют просто магнитной индукцией . Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением магнитной стрелки, находящейся в рассматриваемой точке пространства и свободной от других воздействий.

Так как магнитное поле является силовым, то его изображают с помощью линий магнитной индукции – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции в этих точках поля. Принято через единичную площадку, перпендикулярную , проводить количество линий магнитной индукции, равное величине магнитной индукции. Таким образом, густота линий соответствует величине В . Опыты показывают, что в природе отсутствуют магнитные заряды. Следствием этого является то, что линии магнитной индукции замкнуты. Магнитное поле называется однородным, если векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, то есть, равны по модулю и имеют одинаковые направления.

Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции : магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.

В однородном магнитном поле на прямолинейный проводник действует сила Ампера :

где – вектор, равный по модулю длине проводникаl и совпадающий с направлением тока I в этом проводнике.

Направление силы Ампера определяется правилом правого винта (векторы , и образуют правовинтовую систему): если винт с правой резьбой расположить перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами и , и вращать его от к по наименьшему углу, то поступательное движение винта укажет направление силы .В скалярном виде соотношение (1) можно записать следующим образом:

F = I×l ×B ×sin a или (2).

Из последнего соотношения вытекает физический смысл магнитной индукции : магнитная индукция однородного поля численно равна силе, действующей на проводник с током 1 А, длиной 1 м, расположенный перпендикулярно направлению поля.

Единицей измерения магнитной индукции в СИ является Тесла (Тл) : .


Магнитное поле кругового тока. Электрический ток не только взаимодействуют с магнитным полем, но и создает его. Опыт показывает, что в вакууме элемент тока создает в точке пространства магнитное поле с индукцией

(3) ,

где – коэффициент пропорциональности, m 0 =4p×10 -7 Гн/м – магнитная постоянная, – вектор, численно равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с элементарным током, – радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в рассматриваемую точку поля, r – модуль радиуса-вектора. Соотношение (3) было экспериментально установлено Био и Саваром, проанализировано Лапласом и поэтому называется законом Био-Савара-Лапласа . Согласно правилу правого винта, вектор магнитной индукции в рассматриваемой точке оказывается перпендикулярным элементу тока и радиус-вектору .

На основе закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции проводится расчет магнитных полей электрических токов, текущих в проводниках произвольной конфигурации, путем интегрирования по всей длине проводника. Например, магнитная индукция магнитного поля в центре кругового витка радиусом R , по которому течет ток I , равна:

Линии магнитной индукции кругового и прямого токов показаны на рисунке 1. На оси кругового тока линия магнитной индукции является прямой. Направление магнитной индукции связано с направлением тока в контуре правилом правого винта . В применении к круговому току его можно сформулировать так: если винт с правой резьбой вращать по направлению кругового тока, то поступательное движение винта укажет направление линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором магнитной индукции.

Движение электрического заряда означает перемещение присущего заряду электрического силового поля это приводит к возникновению вихревого магнитного поля. Подобно электрическому полю магнитное поле также характеризуется напряжённостью , однако определение этого понятия связано уже не с зарядом, как это было в случае потенциального электрического поля, а с током, т. е. с движением электрических зарядов.

Направленное поступательное перемещение зарядов и вихревое магнитное поле, отображающее движение электрического поля этих зарядов, представляют собой две стороны единого электромагнитного процесса, называемого электрическим током.

Экспериментальное исследование магнитного поля токов провели в 1820 г. французские физики Ж. Био и Ф. Савар, а П. Лаплас 1 теоретически обобщил результаты этих измерений, получив в итоге формулу (для магнитного поля в вакууме):

(1)

где J - сила тока; - вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный по току (рис.3); - вектор, проведённый от элемента тока в точку, в которой определяется

R - модуль этого вектора.

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

1 Био Жан Батист (1774-1862) - французский физик. Работы посвящены оптике, электромагнетизму, акустике, истории науки.

Савар Феликс (1791 - 1841) - французский физик. Работы относятся к оптике, электромагнетизму, акустике, гидромеханике.

Лаплас Пьер Симон (1749 - 1827) - французский математик, физик и астроном. Физические исследования относятся к молекулярной физике, акустике, электричеству, оптике.

Как видно из выражения (1) , вектор направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле, его направление определяется по вращению головки правого винта поступательное движение которого совпадает с направлением . Для модуля dH можно написать следующее выражение:

(2)

где a - угол между векторами и .

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиусом R (круговой ток). Определим напряжённость магнитного поля в центре

кругового тока (рис. 4). Каждый элемент тока создаёт в центре напряжённость, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сложение элементов сводится к сложению их модулей. По формуле (2)

рассчитаем dH для случая a=p/2:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру:

(3)

Если контур состоит из n витков, то напряжён ость магнитного поля в центре будет равна:

Описание аппаратуры и метода измерений

Целью данной работы является определение величины . Для измерения применяется прибор, называемый тангенс-гальванометром , который состоит из кольцеобразного проводника или плоской катушки большого радиуса. Плоскость катушки расположена вертикально и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение. В центре катушки укреплён компас с магнитной стрелкой. Рис. 5 даёт сечение прибора горизонтальной плоскостью, проходящей через центр витка, NS - направление магнитного меридиана, A и D - сечения катушки, NS - магнитная стрелка компаса.

Шкала лимба разделена на градусы.

При отсутствии тока в катушке на стрелку NS действует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается по направлению магнитного меридиана NS.

Поворотом около вертикальной оси совмещают плоскость катушки с плоскостью магнитного меридиана.

Если после такой установки катушки по ней пропустить ток, то стрелка отклонится на угол a . Теперь магнитная стрелка находится под действием двух полей: магнитного поля Земли () и магнитного поля, созданного током (). При условии совмещения плоскости витка с плоскостью меридиана векторы и взаимно перпендикулярны, тогда (см.рис.5)

; = (5)

Так как длина магнитной стрелки мала по сравнению с радиусом витка, то в пределах стрелки можно считать постоянной величиной (поле однородно) и равной ее значению в центре катушки, определяемой формулой (4).

Решая совместно уравнения (4) и (5), получим

где m – число витков катушки.

Формулой (6) можно воспользоваться для определения H 0 в данной работе

Порядок выполнения работы и обработка результатов измерений

1. Собрать установку по схеме (рис. 6) и, не включая тока, поворачивать подставку тангенс-гальванометра так, чтобы витки его катушки оказались в плоскости магнитного меридиана (см. выше).

2. Включить установку и установить реостатом ток J, подбирая определённый угол отклонения стрелки (в пределах 35 0 -55 0). Дождавшись, когда стрелка придёт в положение равновесия, отсчитать угол её отклонения от плоскости рамки a 1 . Данные значения J и a 1 заносятся в табл. 1.

3. Не изменяя ток по величине, изменить его направление переключателем П, измерить и записать в таблицу значение угла a 2 .

4. Проверить нулевую установку прибора и повторить измерения при том же токе ещё раз.

Вычислить среднее арифметическое значение угла a при заданном токе J (из четырёх измерений):

5. Проделать ещё несколько аналогичных опытов (3 - 5) при различных токах, выбирая углы отклонения стрелки в тех же пределах (35 0 -55 0); результаты занести в таблицу.

6. Для каждого опыта по формуле (6) вычислить H i , (принять a= ), и рассчитать среднее значение , которое заносится в таблицу (n – количество опытов при разном токе)

7. Произвести оценку погрешностей измерений H. Для этого необходимо определить среднее квадратическое отклонение по формуле

s ср = .

D / = DJ/J +DR/R+D(tga)/tga

Последний член этого выражения показывает, что относительная погрешность есть функция угла, имеющая наименьшее значение при a=45 0 (поэтому угол отклонения a следует брать в пределах 35 0 -55 0).Отсюда

Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био - Савара - Лапласа.

-в векторной форме, (15.6)

- в скалярной форме. (15.7)

Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био - Савара - Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.

Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .

Применим формулу
для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

.

Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:

.

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: . (15.8)

Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :

. (15.9)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).



Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока

Рассмотрим индукции , создаваемых двумя элементами контура dl 1 и dl 2 . Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.

Закон Био - Савара - Лапласа для двух элементов:

Выбрав dl 1 =dl 2 и принимая, что r 1 =r 2 , получим:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на получим:

(15.10)

В частности, при x=0 имеем:

(15.11)

магнитная индукция в центре кругового тока

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:

(15.12)

Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:

(15.13)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.

Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что:

Здесь В - магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.

Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где - число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, - сила тока в соленоиде. Поэтому согласно:

Откуда: (15.14)

а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:

(15.15)

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:

.

Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри - всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).

Произведение называется числом ампер - витков на метр.

Тесты к лекции №15

Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.

£ магнитное поле

£ магнитная индукция

£ пробный контур

£ магнитный момент

Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.

£ контур, вносящий помехи в исходное поле.

£ контур, усиливающий исходное поле.

£ контур, ослабляющий исходное поле.

£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.

Тест 15.5.Формула выражает:

£ вектор магнитной индукции

£ напряженность магнитного поля

£ магнитную индукцию

£ магнитный момент

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона

16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток

16.2. Сила Ампера

16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

16.4. Сила Лоренца

16.5. Определение удельного заряда электрона

Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис. 6.17-1), создаваемого элементом проводника Idl , равна

поскольку в данном случае

Рис. 6.17. Магнитное поле на оси кругового тока (слева) и электрическое поле на оси диполя (справа)

При интегрировании по витку вектор будет описывать конус, так что в результате «выживет» только компонента поля вдоль оси 0z . Поэтому достаточно просуммировать величину

Интегрирование

выполняется с учетом того, что подынтегральная функция не зависит от переменной l , а

Соответственно, полная магнитная индукция на оси витка равна

В частности, в центре витка (h = 0) поле равно

На большом расстоянии от витка (h >> R ) можно пренебречь единицей под радикалом в знаменателе. В результате получаем

Здесь мы использовали выражение для модуля магнитного момента витка Р m , равное произведению I на площадь витка Магнитное поле образует с круговым током правовинтовую систему, так что (6.13) можно записать в векторной форме

Для сравнения рассчитаем поле электрического диполя (рис. 6.17-2). Электрические поля от положительного и отрицательного зарядов равны, соответственно,

так что результирующее поле будет

На больших расстояниях (h >> l ) имеем отсюда

Здесь мы использовали введенное в (3.5) понятие вектора электрического момента диполя . Поле Е параллельно вектору дипольного момента, так что (6.16) можно записать в векторной форме

Аналогия с (6.14) очевидна.

Силовые линии магнитного поля кругового витка с током показаны на рис. 6.18. и 6.19

Рис. 6.18. Силовые линии магнитного поля кругового витка с током на небольших расстояниях от провода

Рис. 6.19. Распределение силовых линий магнитного поля кругового витка с током в плоскости его оси симметрии.
Магнитный момент витка направлен по этой оси

На рис. 6.20 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.

Магнитные силовые линии для витка, ось которого лежит в плоскости пластинки, сгущаются внутри витка. Вблизи проводов они имеют кольцевую форму, а вдали от витка поле быстро спадает, так что опилки практически не ориентируются.

Рис. 6.20. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током

Пример 1. Электрон в атоме водорода движется вокруг протона по окружности радиусом а B = 53 пм (эту величину называют радиусом Бора по имени одного из создателей квантовой механики, который первым вычислил радиус орбиты теоретически) (рис. 6.21). Найти силу эквивалентного кругового тока и магнитную индукцию В поля в центре окружности.

Рис. 6.21. Электрон в атоме водорода а B = 2,18·10 6 м/с. Движущийся заряд создает в центре орбиты магнитное поле

Этот же результат можно получить с помощью выражения (6.12) для поля в центре витка с током, силу которого мы нашли выше

Пример 2. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет кольцеобразную петлю радиусом 10 см (рис. 6.22). Найти магнитную индукцию в центре петли.

Рис. 6.22. Магнитное поле длинного проводника с круговой петлей

Решение. Магнитное поле в центре петли создается бесконечно длинным прямолинейным проводом и кольцевым витком. Поле от прямолинейного провода направлено ортогонально плоскости рисунка «на нас», его величина равна (см. (6.9))

Поле, создаваемое кольцеобразной частью проводника, имеет то же направление и равно (см. 6.12)

Суммарное поле в центре витка будет равно

Дополнительная информация

http://n-t.ru/nl/fz/bohr.htm - Нильс Бор (1885–1962);

http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/broil/06.php - теория Бора атома водорода в книге Луи де Бройля «Революция в физике»;

http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html - Нобелевские премии. Нобелевская премия по физике 1922 г. Нильс Бор.


Элемент тока I dl возбуждает магнитное поле dB, перпендикулярное к радиусу-вектору r. Разложим это поле на две слагающие: осевую слагающую dB z и радикальную слагающую dB r . При интегрировании по контуру кругового тока радиальные слагающие взаимно уничтожаются. Результирующее поле будет направлено вдоль оси Z, и надо интегрировать только осевую составляющую

Угол один и тот же для всех точек кругового тока. Интегрирование сводится к простому умножению на длину контура 2πa. Таким образом,

4) Индукция маг. Поля на оси соленоида.

Поэтому маг-ю индукцию на оси соленоида можно получить проинтегрировав индукции от отдельных круговых токов, согласно расчетов:

n-число витков на единицу длины соленоида.

Направление вектора B вдоль оси соленоида по правилу буравчика.

33. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

На всякую рамку с током, помещенную в маг. поле, действует пара сил. Можно предположить, что эта пара сил, создается силами, действующими на каждый элемент контура тока, находящихся в маг. поле.

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Ампер установил, что сила dF , с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ном поле, равна

где dl -вектор, совпадающий по направлению с током, В - вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где a -угол между векторами dl и В .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 , расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Можно показать, что два параллельных тока, одинакового направления, притягиваются друг с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой.

34. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Магнитное поле движущегося заряда.

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m= 1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, равна

Для нахождения числового значения m 0 воспользуемся определением ампера, согласно

которому =2×10 –7 Н/м при I 1 = I 2 = 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в фор­мулу, получим

гдегенри (Гн) - единица индуктивности.

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предполо­жим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде d F =IB dl, откуда

Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1 Тл - магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:

Так как m 0 = 4p×10 –7 Н/А 2 , а в случае вакуума (m = 1), согласно (109.3), B=m 0 H, то для данного случая

Единица напряженности магнитного поля -ампер на метр (А/м): 1 А/м - напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p×10 –7 Тл.

Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. Обобщая общие данные: Закон точечного заряда q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v . Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью. Этот закон выражается формулой

где r - радиус-вектор, проведенный от заряда Q к точке наблюдения М. Вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в кото­рой расположены векторы v и r , а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к r .

Модуль магнитной индукции вычисляется по формуле

где a - угол между векторами v и r .

Приведенные закономерности (1) и (2) справедливы лишь при малых скоро­стях (v <<с) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Формула (1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движу­щегося со скоростью v . Если движется отрицательный заряд, то Q надо заменить на -Q. Скорость v - относительная скорость, т. е. скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения. Поэтому следует подчеркнуть относительный харак­тер магнитного поля движущегося заряда.

36. Эффект Холла. Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме.

Эффект Холла* (1879) - это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j , помещенном в магнитное поле В , электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.

Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в магнитное поле В , перпендикулярное j . При данном направлении j скорость носителей тока в металле - электронов - направлена справа налево. Электроны испытывают дейст­вие силы Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего - их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность Е B этого попереч­ного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновеши­вать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда

где а - ширина пластинки, Dj - поперечная (холловская) разность потенциалов.

Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S - площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п - концентрация электронов, v - средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим

т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (1) R= 1/ (en ) - постоянная Холла , зависящая от вещества. По измеренному значе­нию постоянной Холла можно: 1) определить концентрацию носителей тока в провод­нике (при известных характере проводимости и заряда носителей); 2) судить о природе проводимости полупроводников (см. § 242, 243), так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока. Эффект Холла поэтому - наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках.

§ 118. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B l =B cosa - составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a - угол между векторами В и dl .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):

циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром: (2)

где n - число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис.,

Выражение (2) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектораВ равна

Согласно выражению (2), получим В× 2pr=m 0 I (в вакууме), откуда

Сравнивая выражения (3) и (4) для циркуляции векторов Е и В , видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

37. Магнитное поле соленоида и тороида.

Рассмотрим соленоид длиной l , имеющий N витков, по которому течет ток. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Магнитного поля внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида - неоднородным и очень слабым.

На рис. представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна

Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B l = 0. На участке вне соленоида B =0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

Из (1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме): (2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно . Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается та же формула (2).

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида - кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r . Тогда, по теореме о циркуляции , 2pr=m 0 NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

где N - число витков тороида.

Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и 2pr= 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

38. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля, в том числе в дифференциальной форме.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

где B n =В cos a - проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a - угол между векторами n и В ), dS =dS n - вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n ). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф B через произвольную поверхность S равен (1)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В , B n =B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб - маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м 2 , расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл×м 2).

Теорема Гаусса для поля: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Пусть V - объем ограничивающий рассматриваемой поверхности. Тогда, при стягивании закм-й поверхности в точку, получаем

Т.о., в любой точке пространства =0 (а в электростатике , и только в тех местах, где нет объемных зарядов ρ=0, ).

В силу равенства (2), в области маг. явлений не сущ-ет аналога эл-м зарядам.

Теорема Гаусса для маг. поля отражает факт отсутствия маг. зарядов, вследствии чего линии маг. индукции не имеют ни начало ни конца – они замк-ые.

Магнитный поток Вебера:

39,Магнитные моменты электронов и атомов.

Опыт показывает, что все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничива­ются. Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения атомов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Для качественного объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электрон движется в атоме по круговым орбитам. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладаеторбитальным магнитным моментом p m =IS n , модуль которого (1)

где I=en - сила тока, n - частота вращения электрона по орбите, S - площадь орбиты. Если электрон движется по часовой стрелке, то ток направлен против часовой стрелки и вектор р m (в соответствии с правилом правого винта) направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона, как указано на рисунке.

С другой стороны, движущийся по орбите электрон обладает механическим момен­том импульса L e , модуль которого (2)

где v = 2pn, pr 2 = S. Вектор L e (его направление также определяется по правилу правого винта) называется орбитальным механическим моментом электрона .

Из рис. следует, что направления р m и L e , противоположны, поэтому, учитывая выражения (1) и (2), получим

где величина (3)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов. Это отношение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой ор­биты, хотя для разных орбит значения v и r различны. Формула (3) выведена для круговой орбиты, справедлива и для эллиптических орбит.

Экспериментальное определение гиромагнитного отношения проведено в опытах Эйнштейна и де Гааза, которые наблюдали поворот свободно подвешенного на тончайшей кварцевой нити железного стержня при его намагничении во внешнем магнитном поле (по обмотке соленоида пропускался переменный ток с частотой, равной частоте крутильных колебаний стержня). При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отношение, которое ока­залось равным (e/m ). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекуляр­ные токи, совпадал со знаком заряда электрона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g (3). Для объяснения этого результата, имевшего большое значение для дальнейшего развития физики, было предположено, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных моментов (1) и (2) электрон обладает собственным механическим моментом импульса L es , называ­емым спином . В настоящее время установлено, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе. Спину электрона L es , соответствует собственный (сотовый) магнитный момент р ms , пропорци­ональный L es и направленный в противоположную сторону:

Величина g s называетсягиромагнитным отношением спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора В может принимать только одно из следующих двух значений:

где ħ=h/ (2p) (h- постоянная Планка), m b -магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

Общий магнитный момент атома (молекулы) p a равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

40. Диамагнетики и парамагнетики

Вещества, способные влиять на маг. поле – магнетики. Под влиянием электростатического поля, диэлектрик приходит в особое состояние – поляризация. Т.е., на границах диэлектрика и в обл-х где он неоднороден, возникают эл-е связанные заряды. Они создают свое электро-стат. поле, которое складывается с первоначальным эл-стат полем. Тогда суммарная напряженность эл-стат поля:

E 0­ – первоначальное эл-стат. поле

E - поле, возникающие в результате поля диэлектрика.

Точно также, всякий магнетик, находящийся в маг. поле, текущих по проводам намагничиваются.

В – вектор маг-ой индукции, хар-ий маг-е поле, создаваемое всеми макро и микропотоками.

Н – вектор напряженности, хар-ий маг-е поле макротоков.

=> маг-е поел в вещ-ве складывается из двух полей: внеш. поля, создаваемого током и полем создаваемого намогничиванием вещ-м. Тогда вектор маг. индукции результирующего маг. поля равно векторной сумме маг-х индукций внеш. поля B 0 и поля микротока B

Вещ-ва, для которых сонаправлен с , называется парамагнетиками (платина, алюминий, редкоземельные элементы).Вещ-ва для которых противоположны с называют диамагнетиками (висмут, серебро, золото, медь).

Т.е., парамагнетики намагничиваются вдоль маг. поля, в результате чего они притягиваются к ист-ку внеш. поля. Диамагнетики намагничиваются против поля и отталкиваются от ист-ка внеш. поля.

Для всех диамагнитных тел и большинства парамагнитных довольно мало по сравнению с . Однако сущ-ет группа тел, для которых может быть велико по сравнению с . Такие тела выделяются в особую группу фугромагнитных тел (железо, никель, коболь и др-е). Эти вещ-ва в 10 3 - 10 4 сильнее притягивается к ист-ку внеш. поля, т.е. они сильно намагничиваются вдоль поля.

По гипотезе Ампера, в молекулах парамагнитных вещ-в имеются круговые токи, названные молекулярными токами.

Когда нет внеш. маг-го поля оси этих токов расположены беспорядочно и создаваемые ими маг-е поле в среднем равно 0. Под влиянием маг. поля эти круговые токи ориентируются, при этом они создадут маг-е поле, дающее в среднем индукцию отличную от нуля индукцию она прибавится к первоначальной маг-ой индукции поля . Т.о., объясняется увеличение суммарной магнитной индукции в вещ-ве. Т.е., намагничивание парамагнетика сводится к определенной ориентации его молекулярных токов.

Круговые токи возникают лишь при возбуждении внеш. маг-м полем. Направление этих индуцированных токов таково, что создаваемое ими маг-е поле, направлено против внеш. маг. поля. Этим объясняется уменьшение индукции поля в диамагнитной среде.

41. Магнитное поле в веществе. Магнитная проницаемость. Закон полного тока для магнитного поля в веществе, теорема о циркуляции вектора Н.

Намагниченность. Магнитное поле в веществе

Подобно тому, как для количественного описания поляризации диэлектриков вводи­лась поляризованность (см. § 88), для количественного описания намагничения магнетиков вводят векторную величину - намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема магнетика:

где - магнитный момент магнетика, представляющий собой векторную сумму магнитных моментов отдельных молекул (см. (131.6)).

Рассматривая характеристики магнитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции В , характеризующий результирующее магнитное поле, создава­емое всеми макро- и микротоками, и вектор напряженности Н , характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагничен­ным веществом. Тогда можем записать, что вектор магнитной индукции результирующего магнитного ноля в магнетике равен векторной сумме магнитных индукций внешнего поля В 0 (поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме) и поля микротоков В " (поля, создаваемого молекулярными токами): (133.1)

где В 0 =m 0 Н (см. (109.3)).

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рассмотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l , внесенного в однородное внешнее магнитное поде с индукцией В 0 . Возникающее в магнетике магнитное поле молекуляр­ных токов будет направлено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекулярных токов расположатся перпендикулярно вектору В 0 , так как векторы их магнитных моментовp m антипараллельны вектору В 0 (для диамагнетиков) и параллельны В 0 (для парамагнетиков). Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 189). Нескомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и созда­ет внутри него поле, магнитную индукцию В" которого можно вычислить, учитывая формулу (119.2) для N = 1 (соленоид из одного витка): (133.2)

где I" - сила молекулярного тока, l - длина рассматриваемого цилиндра, а магнит­ная проницаемость m принята равной единице.

С другой стороны, I"/l - магнитной восприимчивостью вещества. Для диамагнстихов c отрицательна (поле молекулярных токов противоположно вне­шнему), для парамагнетиков - положительна (поле молекулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выражение (133.4) можно записать в виде (133.7)

Безразмерная величина (133.8)

представляет собой магнитную проницаемость вещества. Подставив (133.8) в (133.7), придем к соотношению (109.3) В =m 0 m Н , которое ранее постулировалось.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамаг­нетиков очень мало (порядка 10 –4 -10 –6), то для них m незначительно отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле молекулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким образом, для диамагнетиков c<0 и m <1, для парамагнетиков c>0 и m >1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В) является обобщением закона (118.1):

где I и I" - соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым кон­туром L. Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции В по произволь­ному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молеку­лярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную. Вектор В , таким образом, характеризует результирующее поле, созданное как мак­роскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопичес­кими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В не имеют источников и являются замкнутыми.

Из теории известно, что циркуляция намагниченности J по произвольному замкну­тому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, охватываемых этим контуром:

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде (133.9)

где I, подчеркнем это еще раз, есть алгебраическая сумма токов проводимости.

Выражение, стоящее в скобках в (133.9), согласно (133.5), есть не что иное, как введенный ранее вектор H напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром: (133.10)

Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции вектора Н .

Похожие публикации